Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求在點x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．
（II）先求出f（x）的導數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，再求出極值即可．
解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x²-4lnx-1，
∴f（1）=0
又，
∴f′（1）=-2
所以y-0=-2（x-1）
即f（x）在x=1處的切線方程為2x+y-2=0-------------（5分）
（II）因為f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）
所以（x＞0）--------------（6分）
（1）當a＜0時，
因為x＞0，且x²-a＞0，
所以f'（x）＞0對x＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無極值---------------------（8分）
（2）當a＞0時，
令f'（x）=0，解得x₁=，x₂=-（舍）------------------------（10分）
所以，當x＞0時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

	x	（0，）		（，+∞）
	f'（x）	-		+
	f（x）	↘	極小值	↗

------------------------------------------------（12分）
所以，當x=時，f（x）取得極小值，且f（x）_極小值=a-alna-1．
綜上，當a＜0時，方程f'（x）=0無解，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無極值；
當a＞0時，函數(shù)f（x）在x=處取得極小值f（x）_極小值=a-alna-1．--------------（13分）
點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力及分類討論思想．屬于基礎題．