Question

已知等差數(shù)列a_n的首項a₁及公差d都是整數(shù)，前n項和為S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，設(shè)b_n=2ⁿa_n，則b₁+b₂+…+b_n的結(jié)果為    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知可得a₁+3d＞3，3a₂≤9⇒d＞，a₁+d≤3⇒a₁≤3-d＜3-==2結(jié)合等差數(shù)首項a₁及公差d都是整數(shù)可得a₁=2 則＜d≤1⇒d=1，從而可得a_n=2+1×（n-1）=n+1，b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1），利用乘公比錯位相減的方法求和即可
解答：解：因為a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以a₁+3d＞3，3a₂≤9⇒d＞，a₁+d≤3⇒a₁≤3-d＜3-==2．
∵等差數(shù)列{a_n}的首項a₁及公差d都是整數(shù)
∴a₁=2 則＜d≤1⇒d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1）
令S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ①
∴2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得，-S_n=2•2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=
=-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹
故答案為：n•2ⁿ⁺¹
點評：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、和的求解的綜合一直是數(shù)列部分的考查重點之一，而數(shù)列的求和中“錯位相減”的求和方法又是求和的重點和難點，要注意方法的把握．