Question

2．過(guò)點(diǎn)P（$\frac{{\sqrt{10}}}{2}，0$）作傾斜角為α的直線與曲線x²+2y²=1交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|•|PN|的最小值及相應(yīng)的α值．

Answer 1

分析 利用已知可得：直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），0≤α＜π，把直線的參數(shù)方程代入橢圓方程x²+2y²=1，整理得t的二次方程，由于直線與橢圓相交兩點(diǎn)，可得△≥0，得出sinα的取值范圍，再利用參數(shù)的幾何意義可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=$\frac{3}{2（1+si{n}^{2}α）}$即可．

解答 解：設(shè)直線MN的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），0≤α＜π，
代入橢圓的方程可得，t²（1+sin²α）+$\sqrt{10}$tcosα+$\frac{3}{2}$=0，
判別式△=10cos²α-6（1+sin²α）=4-16sin²α≥0，
解得0≤sinα≤$\frac{1}{2}$，
即有|PM|•|PN|=|=|t₁t₂|=$\frac{3}{2（1+si{n}^{2}α）}$≥$\frac{3}{2（1+\frac{1}{4}）}$=$\frac{6}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sinα=$\frac{1}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$時(shí)，|PM|•|PN|的最小值為$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的參數(shù)方程及其幾何意義、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．