Question

已知數列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N⁺）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）是否存在實數λ，使得數列為等差數列，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）?a₂=2a₁+2²-1=13?a₂=13，
同理可得a₃=33，（3分）
（2）假設存在一個實數λ符合題意，則 必為與n無關的常數
∵（5分）
要使 是與n無關的常數，則 ，得λ=-1
故存在一個實數λ=-1，使得數列 為等差數列（13分）
分析：（1）直接把n=3，2代入a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），再借助于a₁=5，即可求出數列的a₂，a₃的值；
（2）先假設存在一個實數λ符合題意，得到 必為與n無關的常數，整理 即可求出實數λ，進而求出數列{a_n}的通項公式．
點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用以及等差關系的確定．解決第二問的關鍵在于由數列 為等差數列，得到 必為與n無關的常數，進而求出對應實數λ的值．