已知橢圓的焦距為2，且過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左右焦點分別為，，過點的直線與橢圓C交于兩點.

（1）當直線的傾斜角為時，求的長；

（2）求的內切圓的面積的最大值，并求出當的內切圓的面積取最大值時直線的方程.

 

（1）橢圓C的方程為；（2）（1）的長為；（2）當的內切圓的面積取最大值時直線的方程為.

【解析】

試題分析：（1）由已知得，且，聯(lián)立可求得橢圓方程；

（2）（1）聯(lián)立橢圓與直線方程，由弦長公式可直接求出的長；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，得，而；

利用均值不等式和函數(shù)單調性的性質可得當時，有最大值3，這時的內切圓面積的最大值為，直線的方程為.

試題解析：（1）由已知，得，且，解得，

故橢圓C的方程為； 4分

（2）（1）由，消去得， 6分

則； 9分

（2）設直線的方程為，由，得，顯然，

設，則有，

設的內切圓半徑為，由可知，

當最大時，也最大，的內切圓面積也最大.

由 12分

令，則，且，則，

令，則，從而在區(qū)間上單調遞增，故有

所以，即當，時，有最大值3，即，

這時的內切圓面積的最大值為，直線的方程為. 14分

考點：橢圓的基本性質、直線與橢圓的位置關系、函數(shù)與方程思想.

 

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A．1 B． C． D．

 

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B.如圖，已知的兩條直角邊的長分別為3cm,4cm，以為直徑的圓與交于點，則 ．

C.已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，則直線與圓的交點的直角坐標系為_______

 

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A． B． C． D．

 

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