Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
（Ⅰ）證明：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，說(shuō)明SO⊥底面ABCD．利用三垂線定理，得SA⊥BC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，設(shè)AD∥BC，連接SE．說(shuō)明∠ESD為直線SD與平面SBC所成的角，通過(guò)sin∠ESD=

ED

SD

=

AO

SD

=

2

11

=

22

11

，求出直線SD與平面SBC所成的角為arcsin

22

11

．
解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，通過(guò)證明

SA

•

CB

=0，推出SA⊥BC．
（Ⅱ）.

OA

與

SD

的夾角記為α，SD與平面ABC所成的角記為β，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

OA

為平面SBC的法向量，利用α與β互余．通過(guò)cosα=

OA • SD

| OA |•| SD |

=

22

11

，sinβ=

22

11

，推出直線SD與平面SBC所成的角為arcsin

22

11

．

解答：解法一：
（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，
由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．
因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO，
又∠ABC=45°，故△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂線定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，
依題設(shè)AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD=BC=2

2

，SA=

3

，SD=

AD2+SA2

=

11

．
又AO=ABsin45°=

2

，作DE⊥BC，垂足為E，
則DE⊥平面SBC，連接SE．∠ESD為直線SD與平面SBC所成的角．sin∠ESD=

ED

SD

=

AO

SD

=

2

11

=

22

11

所以，直線SD與平面SBC所成的角為arcsin

22

11

．

解法二：
（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，
由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">AO=BO=

2

2

AB=

2

，SO=

SB2-BO2

=1，
又BC=2

2

，所以A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(0，-

2

，0)．S（0，0，1），

SA

=(

2

，0，-1)，

CB

=(0，2

2

，0)，

SA

•

CB

=0，所以SA⊥BC．

（Ⅱ）

SD

=

SA

+

AD

=

SA

-

CB

=(

2

，-2

2

，-1)，

OA

=(

2

，0，0).

OA

與

SD

的夾角記為α，SD與平面ABC所成的角記為β，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

OA

為平面SBC的法向量，所以α與β互余．cosα=

OA • SD

| OA |•| SD |

=

22

11

，sinβ=

22

11

，
所以，直線SD與平面SBC所成的角為arcsin

22

11

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．