Question

13．已知奇函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）且△MNE為等腰直角三角形，當(dāng)A的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意，f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，求出φ=$\frac{π}{2}$．
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）且△MNE為等腰直角三角形，可得∠EMN=45°，MN=$\frac{2π}{ω}×\frac{1}{2}$．可得E是坐標(biāo)．

解答 解：由題意，f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，
即cosφ=0，
∴φ=$\frac{π}{2}$．
那么f（x）=-Asinωx．
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），圖象過M點(diǎn)，
可得-Asinω=0
即ω=kπ，k∈Z
∵△MNE為等腰直角三角形，可得∠EMN=45°，MN=$\frac{2π}{ω}×\frac{1}{2}$．
過E作MN垂線交MN于F，則MF=$\frac{π}{2ω}$，
∴F（1$+\frac{π}{2ω}$，0）
可得E的坐標(biāo)為（1$+\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$）
∴A=$\frac{π}{2ω}$．
∵ω＞0，
∴ω最小值為π．
∴A的最大值為$\frac{1}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題中的重要性質(zhì)要注意靈活運(yùn)用：若奇函數(shù)的定義域包括0，則f（0）=0；解決本題的另一關(guān)鍵是圖象過M點(diǎn)，確定ω的值，屬于中檔題．