Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n+1}是一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知a₃=7，a₇=127．
（1）求的a₁值；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）由題可知a₃+1=8，a₇+1=128，…（2分）
又?jǐn)?shù)列{a_n+1}是一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，
則${（{a_5}+1）^2}=（{a_3}+1）（{a_7}+1）=8×128$，
可得a₅+1=32=（a₁+1）×$（\frac{32}{8}）^{2}$，
解得a₁=1．…（6分）
（II）{a_n+1}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴${a_n}+1=2×{2^{n-1}}={2^n}$，∴${a_n}={2^n}-1$，…（9分）
利用分組求和可得${S_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-2-n$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．