Question

5．若f（x）=e^x+ae^-x為奇函數(shù)，則滿足不等式$f（{x-1}）＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$的x的取值范圍為{x|x＜2}．

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得a=-1，可得f（x）=e^x -e^-x ．不等式即f（x-1）＜f（1），再利用函數(shù)的單調(diào)性可得x-1＜1，由此求得x的取值范圍．

解答 解：f（x）=e^x+ae^-x為奇函數(shù)，∴f（0）=1+a=0，求得a=-1，可得f（x）=e^x -e^-x ．
不等式$f（{x-1}）＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$，即e^x-1 -e^1-x＜e-$\frac{1}{e}$，即f（x-1）＜f（1）．
再根據(jù)f（x）=e^x -e^-x ．在R上單調(diào)遞增，可得x-1＜1，∴x＜2，
故答案為：{x|x＜2}．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應用，屬于中檔題．