已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，過(guò)頂點(diǎn)A（0，1）的直線(xiàn)L與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M在橢圓上且滿(mǎn)足
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
，求直線(xiàn)L的斜率k的值．
（1）由e=
c
a
=
3
2
，b=1，a2=1+c2，解得a=2，
故橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）．
聯(lián)立 
y=kx+1
x2
4
+y2=1
，消去y解得 （1+4k2）x2+8kx=0，
因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓C相交于兩點(diǎn)，所以△=（8k）2＞0，
所以x1+x2=-
8k
1+4k2
，x1×x2=0，
∵
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
，∴
m=
1
2
(x1+
3
x2)
n=
1
2
(y1+
3
y2)

點(diǎn)M在橢圓上，則m2+4n2=4，
∴
1
4
(x1+
3
x2)2+(y1+
3
y2)2=4，化簡(jiǎn)得
x1x2+4y1y2=x1x2+4（kx1+1）（kx2+1）=（1+4k2）x1x2+4k（x1+x2）+4=0，
∴4k•（-
8k
1+4k2
）+4=0，解得k=±
1
2
．
故直線(xiàn)l的斜率k=±
1
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿(mǎn)足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線(xiàn)l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線(xiàn)l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線(xiàn)x=2的垂線(xiàn)AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線(xiàn)l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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