(2012•月湖區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=mx-
m-1
x
-lnx(m∈R),g(x)=
1
x
+lnx

(I)求g(x)的極小值;
(II)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求m的取值范圍;
(III)設(shè)h(x)=
2e
x
,若在[1,e]
(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上至少存在一個(gè)x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由題意,x>0,求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得g(x)的極小值;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù)y′=
mx2-2x+m
x2
,根據(jù)f(x)-g(x)在[1,+∞)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),所以mx2-2x+m≥0在[1,+∞)上恒成立,利用分離參數(shù)法,即可求得m的取值范圍;
(III)當(dāng)x=1時(shí),f(1)-g(1)<h(1);當(dāng)x∈(1,e]時(shí),由f(x)-g(x)>h(x),得m>
2e+2xlnx
x2-1
,構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的最小值,即可求得m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由題意,x>0,g′(x)=
x-1
x2
,
∴當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,
所以,g(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù),故g(x)極小值=g(1)=1.  …(4分)
(Ⅱ)∵y=f(x)-g(x)=mx-
m
x
-2lnx

∴y′=
mx2-2x+m
x2
,
由于f(x)-g(x)在[1,+∞)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),
所以mx2-2x+m≥0在[1,+∞)上恒成立,即m≥
2x
1+x2
在[1,+∞)上恒成立,
∵(
2x
1+x2
max=1,
∴m的取值范圍是[1,+∞).               …(8分)
(III)當(dāng)x=1時(shí),f(1)-g(1)<h(1).
當(dāng)x∈(1,e]時(shí),由f(x)-g(x)>h(x),得m>
2e+2xlnx
x2-1
,令G(x)=
2e+2xlnx
x2-1
,
則G′(x)=
(-2x2-2)lnx+(2x2-4ex-2)
(x2-1)2
<0,
所以G(x)在(1,e]上遞減,G(x)min=G(e)=
4e
e2-1

綜上,要在[1,e]上存在一個(gè)x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,必須且只需m>
4e
e2-1
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的求法及應(yīng)用、不等式中在恒成立和存在解不同狀況下的參數(shù)范圍的求法,考查學(xué)生運(yùn)算能力、思維能力和解決問題的能力,屬于難題.
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(2012•月湖區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別a,b,c,且c=3,f(C)=0,若sin(A+C)=2sinA,求a,b的值.

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x
-
1
x
)6
的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160,則
a
1
(
x
-
1
x
)dx
=
4
2
-2
3
-ln2
4
2
-2
3
-ln2

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(2012•月湖區(qū)模擬)為緩解某路段交通壓力,計(jì)劃將該路段實(shí)施“交通銀行”.在該路段隨機(jī)抽查了50人,了解公眾對(duì)“該路段限行”的態(tài)度,將調(diào)查情況進(jìn)行整理,制成下表:
年齡(歲) [15,25) [25,) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)
頻數(shù) 5 10 15 10 5 5
贊成人數(shù) 4 8 9 6 4 3
(I)作出被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖;
(II)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的4人中不贊成“交通銀行”的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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