若x、y∈R，求證：x2+y2+1≥x+y+xy．

 

答案：
解析：

用比較法證

證明：2(a3+b3+c3)－ab(a+b)－bc(b+c)－ca(c+a)

=(a3+b3－a2b－ab2)+(b3+c3－b2c－bc2)+(c3+a3－c2a－ca2)

=(a－b)(a2－b2)+(b－c)(b2－c2)+(c－a)(c2－a2)

=(a－b)2(a+b)+(b－c)2(b+c)+(c∵(an－bn)與(a－b)同號(hào)或等于0

∴(an－bn)(a－b)≥0

<

即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)

 

ize:10.5pt; mso-ascii-font-family:"Times New Roman";mso-hansi-font-family:"Times New Roman"; color:black'>－a)2(c+a)≥0

∴2(a3+b3+c3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)．

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R+上的函數(shù)，并且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x、y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
求證：（1）f（1）=0；
（2）f(
1
x
)=-f(x)；
（3）若x，y∈R+，則f(
x
y
)=f(x)-f(y)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（一）已知a，b，c∈R+，
①求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的結(jié)論求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求證：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的結(jié)論求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）若x+3y-1=0，則2x+8y的最值．
（2）設(shè)x，y∈R，求證：x2+4y2+2≥2x+4y．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

若x、y∈R，求證：x2+y2+1≥x+y+xy．

 

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