Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，）（n∈N⁺）在函數(shù)y=-x+12的圖象上．
（1）寫出S_n關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

解 （1）由題設(shè)得，=-n+12，
即S_n=n（-n+12）=-n²+12n．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a_n=a₁=S₁=11；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-（-（n-1）²+12（n-1））=-2n+13；
由于此時(shí)-2×1+13=11=a₁，
從而數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=-2n+13．
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)（n，）（n∈N*）均在函數(shù)y=-x+12的圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程，代入方程即可求出S_n關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求出通項(xiàng)，驗(yàn)證首項(xiàng)即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差關(guān)系的確定，屬于中檔題．