Question

14．已知函數(shù)$f（x）=A{cos^2}（ωx+φ）+1（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的最大值為3，f（x）的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，2），其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值為（　�。�

• A． 4030
• B． 4032
• C． 4033
• D． 4035

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）化簡，根據(jù)最大值為3，f（x）的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，2），相鄰兩條對稱軸間的距離為2，求解出解析式，根據(jù)周期，即可計算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=A{cos^2}（ωx+φ）+1（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$，
化簡可得：f（x）=A（$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos（2ωx+2φ）+1=$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ）+$\frac{A+2}{2}$，
∵F（x）的最大值為3，即$\frac{A}{2}$+$\frac{A+2}{2}$=3，
∴A=2．
可得：f（x）=cos（2ωx+2φ）+2，
f（x）的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，2），
∴2=cos（2φ）+2．
∵0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
相鄰兩條對稱軸間的距離為2，
∴周期T=4，即$\frac{2π}{2ω}=4$，
ω=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）+2，
∴f（1）=cos（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$）+2=1，
f（2）=cos（π+$\frac{π}{2}$）+2=2，
f（3）=cos（$\frac{3π}{2}$π+$\frac{π}{2}$）+2=3，
f（4）=cos（2π+$\frac{π}{2}$）+2=2，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=8，
∵周期T=4，
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）=504×8+1=4033．
故選C

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡能力和解析式的求法，周期的計算和運用．屬于中檔題．