Question

2．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sin（{π-x}）cosx+2co{s^2}$x+a-1．
（1）求f（x）的對稱軸；
（2）若f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上的最大值與最小值的和為2，求a的值．
（3）若f（x）=0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式和降次公式，輔助角公式化簡f（x），結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的對稱軸；
（2）x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，求出內(nèi)層范圍，求出f（x）的最值，根據(jù)最大值與最小值的和為2，可得a的值；
（3）由f（x）=0，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)值域范圍，即可求解；

解答 解：函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sin（{π-x}）cosx+2co{s^2}$x+a-1．
化簡可得：f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x+a
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a．
（1）對稱軸方程：2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
可得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$，
∴f（x）的對稱軸為x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）∵x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
當2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}×2+a$=a-1，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為2×1+a=a+2．
∵最大值與最小值的和為2，即a-1+a+2=2，
∴a=$\frac{1}{2}$，
（3）f（x）=0有解，即0=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a．
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-a，
∵-2≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2．
∴a的取值范圍[-2，2]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．