Question

圖1，平面四邊形關(guān)于直線對稱，，，．把沿折起（如圖2），使二面角的余弦值等于．

對于圖二，完成以下各小題：

（Ⅰ）求兩點間的距離；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。                                                                                                                

（Ⅱ）由已知得，推出， 

即，得到平面．

（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取的中點 ，連接 ，

由，得：  

∴就是二面角的平面角，即           2分

在中，解得，又

，解得。        4分                                                                                                                   

（Ⅱ）由，

∴，∴， 

∴，  又，∴平面．     8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面，平面

∴平面平面，平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角。             11分

∴．       13分

方法二：設(shè)點到平面的距離為，

∵， ，

∴  ，           11分

于是與平面所成角的正弦為．         13分

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則． 

設(shè)平面的法向量為，則

，，，，

取，則，                      11分

于是與平面所成角的正弦．   13分

考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，距離及角的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題解法較多，特別是求距離時，運用了“等體積法”，實現(xiàn)了問題的有效轉(zhuǎn)化。