Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx-$\sqrt{3}$與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，求出橢圓C的幾何量，然后求解橢圓方程．
（2）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．理由如下：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，…（2分）
所以b²=a²-c²=4-3=1，故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…..（4分）
（2）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．理由如下：
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
并整理，得$（1+4{k^2}）{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$．（*）…．（6分）
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}k}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$．…（8分）
因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}-\sqrt{3}k（{x_1}+{x_2}）+3$，于是$\frac{8}{{1+4{k^2}}}-\frac{{4{k^2}-3}}{{1+4{k^2}}}=0$，…．（10分）
解得$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，…..（11分）
經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)（*）式的△＞0，符合題意．
所以當(dāng)$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$時(shí)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查存在性問題的處理方法，考查計(jì)算能力．