Question

已知函數f（x）=

1

2

x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-

1

2

x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數f（x）圖象在函數g（x）=

2

3

x³圖象的下方；
（Ⅲ）設函數h（x）=f′（x），求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將“方程xf（x）-

1

2

x³=2009的根”轉化為：“函數y=lnx與y=

2009

x

”的交點，將“方程xe^x=2009的根”轉化為：“函數y=e^x與y=

2009

x

”的交點；最由K_AB=-1，求得α•β
（Ⅱ）構造“函數F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x^3”，將問題轉化為：“F（x）≤0恒成立”，再用導數法，研究其單調性，求得其最大值即可．
（Ⅲ）當n=1時，左邊=x+

1

x

+2，右邊=x+

1

x

+2，不等式成立；當n≥2時，由[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+

1

x

）ⁿ-（xⁿ+

1

xn

）
=

1

2

[C_n¹（x^n-2+

1

xn-2

）+C_n²（x^n-4+

1

xn-4

）+…+C_n^n-1（

1

xn-2

+x^n-2）]作差比較．

解答：解：（Ⅰ）根據題意：易知y=lnx與y=

2009

x

的交點為A（α，

2009

α

），
y=e^x與y=

2009

x

的交點為B（β，

2009

β

）；由K_AB=-1，易知α•β=2009（4分）

（Ⅱ）設F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，則F′（x）=x+

1

x

-2x²=

(1-x)(1+x+2x2)

x

∵x＞1，F′（x）＜0∴F（x）在區(qū)間（1，+∝）上是減函數又∵F（1）=-

1

6

＜0
∴

1

2

x²+lnx-

2

3

x³＜0，即

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，x∈（1，+∞）
∴在區(qū)間（1，+∞）上，函數f（x）圖象在函數g（x）=

2

3

x³圖象的下方（9分）

（Ⅲ）當n=1時，左邊=x+

1

x

+2，右邊=x+

1

x

+2，不等式成立；
當n≥2時，[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+

1

x

）ⁿ-（xⁿ+

1

xn

）
=

1

2

[C_n¹（x^n-2+

1

xn-2

）+C_n²（x^n-4+

1

xn-4

）+…+C_n^n-1（

1

xn-2

+x^n-2）]
由已知，x＞0
∴[h（x）]ⁿ-ln（xⁿ）≥C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2
∴[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．（15分）

點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，主要涉及了方程根的問題轉化為函數圖象的交點，不等式恒成立問題，轉化為函數的最值問題，比較法證明不等式等．