【題目】如圖，在中，X、Y為直線BC上兩點（X、B、C、Y順次排列），使得.設(shè)的外心分別為，直線與AB、AC分別交于點U、V.證明：為等腰三角形.

【答案】見解析

【解析】

證法1 如圖所示，作的平分線，與BC交于點P.設(shè)的外接圓分別為.

由內(nèi)角平分線的性質(zhì)知.

由條件得.

故

.

則點P對的冪相等.從而，點P在圓的根軸上.

于是，.這表明，點U、V關(guān)于直線AP對稱.

因此，為等腰三角形.

證法2 如圖所示，設(shè)的外心為O，聯(lián)結(jié).過點分別作直線BC的垂線，垂足分別為.作于點K.

下面證明：.

在中，

.

由外心的性質(zhì)，知.

又，故.

而分別為BC、CX的中點，則

，

其中，R為的外接圓半徑.

類似地，.

由已知條件得

.

由.

類似地，.

又因為，所以，

，

.

因此，為等腰三角形.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù).

（1）經(jīng)過原點分別作曲線、的切線，若兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：；

（2）設(shè)，當時，恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為

（1）求的值； （2）求的值。

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【題目】把編號為1，2，3，4的四個大小、形狀相同的小球，隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子里．每個盒子里放入一個小球．

（1）求恰有兩個球的編號與盒子的編號相同的概率；

（2）設(shè)小球的編號與盒子編號相同的情況有種，求隨機變量的分布列與期望．

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【題目】已知圓經(jīng)過（2，5），（﹣2，1）兩點，并且圓心在直線yx上.

（1）求圓的標準方程；

（2）求圓上的點到直線3x﹣4y+23＝0的最小距離.

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【題目】一個盒子中裝有大小相同的小球個，在小球上分別標有1，2，3…，的號碼，已知從盒子中隨機取出兩個球，兩球號碼的最大值為的概率為．

（Ⅰ）盒子中裝有幾個小球？

（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中隨機地取出4個球，記所取4個球的號碼中，連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)的最大值為隨機變量（如取標號分別為2，4，6，8的小球時；取標號分別為1，2，4，6的小球時；取標號分別為1，2，3，5的小球時），求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中，正確的有（ ）

A.向量與是共線向量，則點、、、必在同一條直線上

B.若且，則角為第二或第四象限角

C.函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是

D.中，若，則為鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù)且)在處取得極值.

(1)當時，求的極大值點和極小值點；

(2)若在上的最大值為1，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新合金材料，由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標值（值越大產(chǎn)品的性能越好）與這種新合金材料的含量（單位：克）的關(guān)系：當時，是的二次函數(shù)；當時，.測得部分數(shù)據(jù)如表所示.

0

2

6

10

…

－4

8

8

…

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求該新合金材料的含量為何值時產(chǎn)品的性能達到最佳.

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