Question

18．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為$\frac{1}{2}$（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上的一點(diǎn)，過P的直線l與以橢圓的短軸為直徑的圓切于第一象限，切點(diǎn)為M，證明：|PF|+|PM|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率公式及三角形的面積公式，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）由P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}=1$，（0＜x₀＜$\sqrt{2}$），利用兩點(diǎn)之間的距離公式丨PF丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x₀），丨PM丨=$\sqrt{丨OP{丨}^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀，即可求證|PF|+|PM|為定值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，①△AOF的面積S=$\frac{1}{2}$×bc=$\frac{1}{2}$，則bc=1，②
a²=b²+c²，③
解得：a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）證明：以橢圓的短軸為直徑的圓的方程：x²+y²=1，右焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}=1$，
（0＜x₀＜$\sqrt{2}$），
丨PF丨=$\sqrt{（{x}_{0}-1）^{2}+{y}_{0}^{2}}$
=$\sqrt{{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}+1+1-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}+2}$
=$\sqrt{\frac{1}{2}（{x}_{0}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x₀），
又l與圓：x²+y²=1相切于M，
丨PM丨=$\sqrt{丨OP{丨}^{2}-1}$=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-1}$=$\sqrt{{x}_{0}^{2}-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀，
則|PF|+|PM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x₀）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀=$\sqrt{2}$．
∴|PF|+|PM|為定值$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，兩點(diǎn)之間的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．