Question

在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ACF；
（2）若CE=1，AB=

2

，求三棱錐E-ACF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接OF，由中位線定理，得到OF∥DE，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（2）在△EBC中，求得△CEF的面積，再由線面垂直的性質(zhì)和判定，得到AB⊥平面BCE，再由三棱錐E-ACF的體積即三棱錐A-ECF的體積，運(yùn)用棱錐的體積公式即可得到．

解答： （1）證明：連接OF．由四邊形ABCD是正方形可知，點(diǎn)O為BD中點(diǎn)．
又F為BE的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥DE．
又OF?平面ACF，DE?平面ACF，
所以DE∥平面ACF；
（2）因?yàn)樵凇鱁BC中，BC⊥CE，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，CE=1，BC=

2

，
所以S△CEF=

1

2

S△BCE=

1

2

×

1

2

×

2

×1=

2

4

．
又因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，EC⊥底面ABCD，
所以AB⊥BC，AB⊥CE，BC∩CE=C，
所以AB⊥平面BCE，
所以三棱錐E-ACF的體積VE-ACF=VA-CEF=

1

3

×S△CEF×AB=

1

3

×

2

4

×

2

=

1

6

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判斷和垂直的判定和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查棱錐的體積的計算，注意三棱錐體積可用等積法，屬于中檔題．