Question

已知命題：平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點(diǎn)A（-p，0）和C（p，0），頂點(diǎn)B在橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞n＞0，p=

m2-n2

)上，橢圓的離心率是e，則

sinA+sinC

sinB

=

1

e

，試將該命題類比到雙曲線中，給出一個(gè)真命題：

 

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的離心率的說法可以寫出推理的前提，對(duì)于雙曲線的離心率可以通過定義表示出來，根據(jù)正弦定理把三角形的邊長表示成角的正弦．

解答：解：∵根據(jù)橢圓的離心率的說法可以寫出推理的前提，
平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點(diǎn)A（-p，0）和C（p，0），
頂點(diǎn)B在雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0，p=

m2+n2

)上，
雙曲線的離心率是e
后面的關(guān)于離心率的結(jié)果要計(jì)算出
∵

1

e

=

a

c

 =

2a

2c

=

|AB-BC|

AC

∴由正弦定理可以得到

1

e

=

|sinC-sinA|

sinB

，
故答案為：平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點(diǎn)A（-p，0）和C（p，0），
頂點(diǎn)B在雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0，p=

m2+n2

)上，
雙曲線的離心率是e，則

1

e

=

|sinC-sinA|

sinB

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理，解題的關(guān)鍵是利用定義表示出雙曲線的離心率，再利用正弦定理表示出來，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．