Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinωx•cosωx+cos（2ωx+

π

3

）（ω＞0）的最小正周期為2π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，當(dāng)x=A時(shí)函數(shù)f（x）取到最值，且△ABC的面積為

3 3

2

，b+c=5，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（I）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為：f（x）=sin(2ωx+

π

6

)，根據(jù)已知可求ω，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）根據(jù)已知先求A+

π

6

=

π

2

，  A=

π

3

，由面積公式可求得bc=6．由b+c=5及余弦定理即可求得a的值．

解答： （本題滿分12分）．
解：（ I）依題意得：f(x)=

3

sin2ωx+

1

2

cos2ωx-

3

2

sin2ωx（2分）
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx（3分）
=sin(2ωx+

π

6

)，（4分）
∵ω＞0，
∴T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

，（5分）
∴f(x)=sin(x+

π

6

)．（6分）
（ II）∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

．
∵f(x)=sin(x+

π

6

)在x=A時(shí)取得最值，
∴A+

π

6

=

π

2

，  A=

π

3

．（8分）
∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3 3

2

，
∴bc=6．（9分）
∵b+c=5，
∴a²=b²+c²-2bccosA（10分）=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=25-18=7，（11分）
∴a=

7

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．