Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

3

5

，an=2-

1

an-1

(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an-1

(n∈N*)．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}中的最大項和最小項，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把給出的an=2-

1

an-1

變形得a_na_n-1=2a_n-1-1，然后直接求b_n+1-b_n，把b_n+1和b_n用a_n+1和a_n表示后整理即可得到結(jié)論；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求，然后利用數(shù)列的函數(shù)特性可求其最大項和最小項．

解答：（1）證明：由an=2-

1

an-1

，得：a_na_n-1=2a_n-1-1，則a_n+1a_n=2a_n-1．
又bn=

1

an-1

，
∴b_n+1-b_n=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

an-1-an+1+1

(an+1-1)(an-1)

=

an-an+1

an+1an-an+1-an+1

=

an-an+1

2an-1-an+1-an+1

=

an-an+1

an-an+1

=1．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）解：∵a1=

3

5

，b1=

1

a1-1

=

1

3 5 -1

=-

5

2

，
又數(shù)列{b_n}是公差為1的等差數(shù)列，
∴bn=b1+(n-1)d=-

5

2

+n-1=n-

7

2

，
則an=

1

bn

+1=

1

n- 7 2

+1=

2n-5

2n-7

=1+

2

2n-7

，
當n=4時，1+

2

2n-7

取最大值3，當n=3時，1+

2

2n-7

取最小值-1．
故數(shù)列{a_n}中的最大項是a₄=3，最小項是a₃=-1．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，正確確定數(shù)列的通項，利用數(shù)列的函數(shù)特性求出數(shù)列的最大值和最小值是該題的難點所在，是中檔題．