Question

已知數(shù)列滿足（）．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求它的首項(xiàng)和公差；

（2）證明：數(shù)列不可能是等比數(shù)列；

（3）若，（），試求實(shí)數(shù)和的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

 

Answer 1

（1）首項(xiàng)為，公差為，（2）詳見(jiàn)解析，（3），，.

【解析】

試題分析：（1）求特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）通項(xiàng)的基本方法就是待定系數(shù)法.本題中只需確定公差與首項(xiàng)，即只需列出兩個(gè)獨(dú)立條件就可解出. 由已知，，若是等差數(shù)列，則，即，得，， 故．所以，數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．（2）證明數(shù)列不可能是等比數(shù)列，宜從反面出發(fā)推出矛盾即可. 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則有，解得，從而，，又．，，，不成等比數(shù)列，與假設(shè)矛盾，（3）本題也可同（1）一樣用待定系數(shù)法解，即需列出三個(gè)獨(dú)立條件，解出參數(shù)但運(yùn)算量較大，故考慮用方程恒等，系數(shù)對(duì)應(yīng)相等方法求解. 由化簡(jiǎn)得，所以， 再由數(shù)列通項(xiàng)可得.

試題解析：解（1）由已知，，

若是等差數(shù)列，則，即，

得，， 故．

所以，數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為． （5分）

（2）假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則有，

即，

解得，從而，，

又．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721181874238418/SYS201411172118218831897847_DA/SYS201411172118218831897847_DA.022.png">，，，不成等比數(shù)列，與假設(shè)矛盾，

所以數(shù)列不是等比數(shù)列． （10分）

（3）由題意，對(duì)任意，有（為定值且），

即．

即，

于是，，

所以，

所以，當(dāng)，時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列．

此數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以．

因此，的通項(xiàng)公式為． （16分）

考點(diǎn)：等差數(shù)列及等比數(shù)列通項(xiàng)