【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,已知曲線 的參數(shù)方程為 為參數(shù)),點 是曲線 上的一動點,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線 的方程為 .
(Ⅰ)求線段 的中點 的軌跡的極坐標方程;
(Ⅱ)求曲線 上的點到直線 的距離的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)設線段 的中點 的坐標為
由中點坐標公式得 為參數(shù)),
消去參數(shù)得 的軌跡的直角坐標方程為 ,
由互化公式可得
故答案為:點 的軌跡的極坐標方程為
(Ⅱ)由直線 的極坐標方程為 ,得 ,
所以直線 的直角坐標方程為
曲線 的普通方程為 ,它表示以 為圓心,2為半徑的圓,
則圓心到直線 的距離為 ,所以直線 與圓相離,
故答案為:曲線 上的點到直線 的距離的最大值為
【解析】(1)設OP的中點M的坐標為(x,y),用中點坐標公式將點M的坐標表示為為參數(shù)的參數(shù)方程,先普通方程,再化為極坐標方程.
(2)將直線l的極坐標方程用公式化為普通方程,當直線與圓相離時,圓上的點到直線的點的距離最大值就是圓心到直線的距離加上半徑.

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