Processing math: 100%
11.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n的展開式中x的系數(shù)恰好是數(shù)列{an}的前n項和Sn
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=2an2an12an+11,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<1.

分析 (1)根據(jù)二項式定理可得Sn=12n2+12n,繼而求出數(shù)列的通項公式;
(2)根據(jù)“裂項求和“即可證明.

解答 (1)解:(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n的展開式中x的系數(shù)為C11+C12+C13++C1n=C22+C12+C13++C1n=C2n+1=12n2+12n
Sn=12n2+12n,
所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n.
當(dāng)n=1時,a1=1也適合上式.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n.
(2)證明:bn=2n2n12n+11=12n112n+11
所以Tn=113+1317++12n112n+11=112n+11,
所以Tn<1.

點評 本題考查了二項式定理,前n項和公式、“裂項求和”、遞推式的應(yīng)用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.在鈍角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為A,B,C且b=atanB.
(Ⅰ)求A-B的值;
(Ⅱ)求sinA+sinB的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>1)的長軸長為22,P為橢圓C上異于頂點的一個動點,O為坐標(biāo)原點,A2為橢圓C的右頂點,點M為線段PA2的中點,且直線PA2與直線OM的斜率之積恒為-12
(1)求橢圓C的方程.
(2)過橢圓C的左焦點F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點N,點N的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-14,0),求線段AB長的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知a+b>0,b=4a,(a+b)n的展開式按a的降冪排列,其中第n 項與第n+1項相等,那么正整數(shù)n等于( �。�
A.4B.9C.10D.11

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2f(x),且當(dāng)x∈[2,4]時,fx={x2+4x2x3x2+2x3x4,g(x)=ax+1,對?x1∈[-2,0],?x2∈[-2,1],使得g(x2)=f(x1),則實數(shù)a的取值范圍為( �。�
A.18[18+B.[140018]C.(0,8]D.14][18+

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x3的單調(diào)性和奇偶性一致的函數(shù)是(  )
A.y=xB.y=tanxC.y=x+1xD.y=ex-e-x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.已知實數(shù)x,y滿足不等式組{xy20x+2y50y20目標(biāo)函數(shù)z=2log4y-log2x,則z的最大值為1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知m為實數(shù),i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z=m+2i1+i,則“m>-2”是“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限”的( �。�
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.函數(shù)y=x+1x的最大值為( �。�
A.1B.2C.3D.2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案