Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，且PA=2DE=2，F(xiàn)是PC的中點．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）求證：平面PEC⊥平面PAC；
（3）求三棱錐P-ACE的體積V_P-ACE．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O點，連接FO，可得FO∥PA且FO=

1

2

PA，結(jié)合題中條件得到：四邊形EFOD為平行四邊形，所以EF∥OD，再根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行．
（2）由題意可得：PA⊥OD，OD⊥AC，即可得到OD⊥平面PAC，又EF∥OD，進而得到線面垂直，再結(jié)合面面垂直的判定定理證明面面垂直．
（3）求三棱錐P-ACE的體積，轉(zhuǎn)化為E-PAC的體積，求出底面面積和高，即可求出體積．

解答：解：（1）連接BD交AC于O點，連接FO
∵F是PC的中點，O是AC的中點
∴FO∥PA且FO=

1

2

PA，
又DE∥PA，且DE=

1

2

PA

∴FO∥ED且FO=ED
∴四邊形EFOD為平行四邊形
∴EF∥OD且EF?平面ABCD，OD⊆平面ABCD
∴EF∥平面ABCD；…（4分）
（2）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥OD．
又OD⊥AC且PA∩AC=C
∴OD⊥平面PAC．
又EF∥OD，
∴EF⊥平面PAC，
又因為EF⊆平面PCE，
∴平面PEC⊥平面PAC…（8分）
（3）由題意可得：V_P-ACE=V_E-PAC，
由（2）可得EF⊥平面PAC，
因為四邊形EFOD為平行四邊形，
所以EF=0D=

2

．
因為正方形ABCD的邊長為2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，
所以S_△PAC=2

2

．
所以V_P-ACE=V_E-PAC=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．…（12分）

點評：本題考查直線和平面平行的判定與面面垂直的判定定理，以及三棱錐的體積公式，是中檔題．