Question

17．已知一條曲線(xiàn)C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是1．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）若以F為圓心的圓與直線(xiàn)4x+3y+1=0相切，過(guò)點(diǎn)F任作直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，由點(diǎn)A，B分別向圓F引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為P，Q，記α=∠PAF，β=∠QBF，求證：sinα+sinβ是定值．

Answer 1

分析 （1）拋物線(xiàn)的定義，即可求曲線(xiàn)C的方程；
（2）對(duì)直線(xiàn)l的斜率分存在和不存在兩種情況：把直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線(xiàn)的定義即可得出．

解答 解：（1）∵一條曲線(xiàn)C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是1，
∴點(diǎn)的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）；
（2）當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1），
代入拋物線(xiàn)方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴sinα+sinβ=$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{+x}_{2}+1}$=1．
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，也可得sinα+sinβ=1，
綜上，有sinα+sinβ=1．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵．