Question

12．邊長為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）若三棱錐A-BDE的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求AE長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AE⊥CD，AD⊥CD，從而CD⊥平面ADE，由此能證明平面ABCD⊥平面ADE．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BA⊥平面ADE，AE⊥DE，由此利用V_B-ADE=V_A-BDE，能求出AE的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥平面ADE，
又CD?面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．
解：（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ADE，且BA⊥DA，
∴BA⊥平面ADE，
∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥DE，
設(shè)AE=x，DA=2，得DE=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴V_B-ADE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}x\sqrt{4-{x}^{2}}$×2=$\frac{1}{3}x\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∵V_B-ADE=V_A-BDE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$x\sqrt{4-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
解得x=1或x=$\sqrt{3}$．
∴AE=1或AE=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線段長的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．