Question

3．已知△ABC的頂點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在x軸上移動，|AB|=|AC|，且BC的中點(diǎn)在y軸上．
（Ⅰ）求C點(diǎn)的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知軌跡Γ上的不同兩點(diǎn)M，N與P（1，2）的連線的斜率之和為2，求證：直線MN過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求C點(diǎn)的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為x=my+n，與拋物線方程聯(lián)立，利用斜率之和為2，即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)C（x，y）（y≠0），因為B在x軸上且BC中點(diǎn)在y軸上，所以B（-x，0），
由|AB|=|AC|，得（x+1）²=（x-1）²+y²，
化簡得y²=4x，所以C點(diǎn)的軌跡Γ的方程為y²=4x（y≠0）．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線MN的方程為x=my+n，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=my+n\end{array}\right.$得y²-4my-4n=0，
所以y₁y₂=-4n，${k_{MP}}=\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-1}}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{4}-1}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}$，同理${k_{NP}}=\frac{4}{{{y_2}+2}}$，
所以$\frac{4}{{{y_1}+2}}+\frac{4}{{{y_2}+2}}=2$，化簡得y₁y₂=4，
又因為y₁y₂=-4n，所以n=-1，
所以直線MN過定點(diǎn)（-1，0）．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．