Question

【題目】

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．

（Ⅰ）對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有

a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析．

（Ⅱ）見解析．

（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）選擇反證法來證明，假設(shè)存在推出矛盾．

（Ⅱ）用數(shù)列構(gòu)造一個新數(shù)列，我們寫出新數(shù)列的第項和第項之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)的取值影響數(shù)列的性質(zhì)，所以要對進(jìn)行討論．

（Ⅲ）根據(jù)前面的運算寫出數(shù)列的前項和，把不等式寫出來觀察不等式的特點，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的最值進(jìn)行驗證，注意的奇偶情況要分類討論．

解：（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，即，矛盾．

所以不是等比數(shù)列．

（Ⅱ）解：因為

又，所以

當(dāng)，，此時不是等比數(shù)列：

當(dāng)時，，由上可知，

．

故當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)，，，不滿足題目要求．

，故知，于是可得

，

要使對任意正整數(shù)成立，

即

得

①

當(dāng)為正奇數(shù)時，；當(dāng)為正偶數(shù)時，，

的最大值為（1），的最小值為（2），．

于是，由①式得．

當(dāng)時，由，不存在實數(shù)滿足題目要求；

當(dāng)存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有，且的取值范圍是