【題目】已知函數(shù)fx)=lnxsinx,記fx)的導(dǎo)函數(shù)為f'x).

1)若hx)=axf'x)是(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;

2)若x0,2π),試判斷函數(shù)fx)的極值點個數(shù),并說明理由.

【答案】1a1;(2)函數(shù)fx)在(0,2π)上有且僅有唯一的極大值點,無極小值點;理由詳見解析

【解析】

1)只需h′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,借助于三角函數(shù)的有界性,問題可解決.

2)分x0,1),,,四種情形分別研究fx)的單調(diào)性,進而得出結(jié)論.

解:(1)∵,

ax+cosx,因為hx)是(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),

h′(x)=asinx0x0)恒成立,因為sinx∈[1,1],

a1時,h′(x)≥0恒成立,且導(dǎo)數(shù)為0時不連續(xù).

a1即為所求.

2)由(1)知,,

x0,1]時,f′(x)≥1cosx0,

此時函數(shù)fx)單調(diào)遞增,無極值點;

時,則,

,而由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,,

,

此時函數(shù)fx)單調(diào)遞增,無極值點;

時,cosx0,則,

此時函數(shù)fx)單調(diào)遞增,無極值點;

時,令,則,

∴函數(shù)gx)單調(diào)遞減,

,

∴存在唯一的,使得gx0)=0,

且當時,gx)=f′(x)>0,fx)單調(diào)遞增,

xx0,2π)時,gx)=f′(x)<0,fx)單調(diào)遞減,

x0是函數(shù)fx)的極大值點,

綜上所述,函數(shù)fx)在(0,2π)上有且僅有唯一的極大值點,無極小值點.

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