【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx,記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x).
(1)若h(x)=axf'(x)是(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若x∈(0,2π),試判斷函數(shù)f(x)的極值點個數(shù),并說明理由.
【答案】(1)a≥1;(2)函數(shù)f(x)在(0,2π)上有且僅有唯一的極大值點,無極小值點;理由詳見解析
【解析】
(1)只需h′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,借助于三角函數(shù)的有界性,問題可解決.
(2)分x∈(0,1),,,四種情形分別研究f(x)的單調(diào)性,進而得出結(jié)論.
解:(1)∵,
∴ax+cosx,因為h(x)是(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),
∴h′(x)=a﹣sinx≥0(x>0)恒成立,因為sinx∈[﹣1,1],
故a≥1時,h′(x)≥0恒成立,且導(dǎo)數(shù)為0時不連續(xù).
故a≥1即為所求.
(2)由(1)知,,
①當x∈(0,1]時,f′(x)≥1﹣cosx>0,
此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,無極值點;
②當時,則,
∵,而由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,,
∴,
此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,無極值點;
③當時,cosx<0,則,
此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,無極值點;
④當時,令,則,
∴函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,
又,
∴存在唯一的,使得g(x0)=0,
且當時,g(x)=f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當x∈(x0,2π)時,g(x)=f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
故x0是函數(shù)f(x)的極大值點,
綜上所述,函數(shù)f(x)在(0,2π)上有且僅有唯一的極大值點,無極小值點.
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【題目】若有平面與,,,,,則下列命題中真命題的序號有________.(1)過點且垂直于的直線平行于;(2)過點且垂直于的平面垂直于;(3)過點且垂直于的直線在內(nèi);(4)過點且垂直于的直線在內(nèi).
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【題目】
已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=其中λ為實數(shù),n為正整數(shù).
(Ⅰ)對任意實數(shù)λ,證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
(Ⅱ)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)設(shè)0<a<b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.是否存在實數(shù)λ,使得對任意正整數(shù)n,都有
a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設(shè)圓的方程為.
(1)證明線段是圓的直徑;
(2)當圓的圓心到直線的距離的最小值為時,求的值.
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【題目】若關(guān)于x的不等式2lnx≤ax2+(2a﹣2)x+1恒成立,則a的最小整數(shù)值是( )
A.0B.1C.2D.3
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【題目】如圖,在平行四邊形中,,,現(xiàn)沿對角線將折起,使點A到達點P,點M,N分別在直線,上,且A,B,M,N四點共面.
(1)求證:;
(2)若平面平面,二面角平面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax﹣lnx﹣1,a∈R.
(1)當a時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)若a為整數(shù),且不等式f(x)≥x對任意x∈(0,+∞)恒成立,求a的最小值.
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【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查,為此需要抽驗960人的血樣進行化驗,由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.
方案①:將每個人的血分別化驗,這時需要驗960次.
方案②:按個人一組進行隨機分組,把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗,如果每個人的血均為陰性,則驗出的結(jié)果呈陰性,這個人的血就只需檢驗一次;否則,若呈陽性,則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗,這樣,該組個人的血總共需要化驗次.
假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨立.
(1)設(shè)方案②中,某組個人中每個人的血化驗次數(shù)為,求的分布列;
(2)設(shè),試比較方案②中,分別取2,3,4時,各需化驗的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).
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