Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），對定義域內(nèi)的任意x，滿足f（x）+f（-x）=0，當x＜-1時，f(x)=

1+ln(-x-1)

x+a

（a為常），且x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）如果當x≥2時，不等式f(x)≥

m

x

恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（Ⅲ）求證：n-2(

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

)＜ln(n+1)．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出當x＞1時，f（x）=-f（-x）=

1+ln(x-1)

x-a

，可得當x＞1時，f′（x）=

x-a x-1 -1-ln(x-1)

(x-a)2

，利用x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）當x≥2時，不等式f(x)≥

m

x

恒成立，等價于m≤x•

1+ln(x-1)

x-1

，令g（x）=x•

1+ln(x-1)

x-1

=1+

1+xln(x-1)

x-1

，求出最小值，即可求實數(shù)m的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x≥2時，f（x）≥

2

x

，即

1+ln(x-1)

x-1

≥

2

x

，可得ln（x-1）≥1-

2

x

＞1-

2

x-1

，令x-1=

k+1

k

，則1-

2

x-1

=1-

2k

k+1

，進而取值累加，即可證明結論．

解答： （Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），對定義域內(nèi)的任意x，滿足f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)，
當x＞1時，-x＜-1，∴f（x）=-f（-x）=

1+ln(x-1)

x-a

，
∴當x＞1時，f′（x）=

x-a x-1 -1-ln(x-1)

(x-a)2

∵x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，
∴f′（2）=

1-a

(2-a)2

=0，
∴a=1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x＞1時，f（x）=

1+ln(x-1)

x-1

當x≥2時，不等式f(x)≥

m

x

恒成立，等價于m≤x•

1+ln(x-1)

x-1

，
令g（x）=x•

1+ln(x-1)

x-1

=1+

1+xln(x-1)

x-1

，
則g′（x）=

(x-1)-ln(x-1)

(x-1)2

，
令h（x）=（x-1）-ln（x-1）（x≥2），則h′（x）=

x-2

x-1

，
當x＞2時，h′（x）=

x-2

x-1

＞0，函數(shù)h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（2）=1＞0，
∴當x≥2時，g′（x）=

(x-1)-ln(x-1)

(x-1)2

＞0，
∴g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（2）=2，
∴m≤2，
∴實數(shù)m的最大值為2；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當x≥2時，f（x）≥

2

x

，即

1+ln(x-1)

x-1

≥

2

x

，
則ln（x-1）≥1-

2

x

＞1-

2

x-1

，
令x-1=

k+1

k

，則1-

2

x-1

=1-

2k

k+1

，
∴1-

2×1

1+1

＜ln

2

1

；1-

2×2

2+1

＜ln

3

2

，…，1-

2n

n+1

＜ln

n+1

n

，
累加可得n-2(

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

)＜ln(n+1)．

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，考查不等式的證明，正確分離參數(shù)求最值是關鍵．