Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且滿足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并加以證明；
（Ⅲ）設(shè)x＞0，y＞0，且x+y=1，證明：≤．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分別令n=1，2，3，列出方程組，能夠求出求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）證法一：猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
證法二：猜想：a_n=n，直接用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（Ⅲ）證法一：要證≤，只要證n（x+y）+2+≤2（n+2），將x+y=1代入，得≤n+2，即要證4xy≤1．由均值不等式知4xy≤1成立，所以原不等式成立．
證法二：由題設(shè)知≤，≤，所以（）≤=n+2，由此可導(dǎo)出≤．
證法三：先證≤，然后令a=nx+1，b=ny+1，即得：≤=．
解答：解：（Ⅰ）分別令n=1，2，3，得
∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．（3分）

（Ⅱ）證法一：猜想：a_n=n，（4分）
由2S_n=a_n²+n①
可知，當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1²+（n-1）②
①-②，得2a_n=a_n²-a_n-1²+1，即a_n²=2a_n+a_n-1²-1．（6分）
1）當(dāng)n=2時(shí)，a₂²=2a₂+1²-1，∵a₂＞0，∴a₂=2；（7分）
2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，a_k=k．那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1²=2a_k+1+a_k²-1=2a_k+1+k²-1⇒[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，
∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
∴a_n=n（n≥2）．顯然n=1時(shí)，也適合．
故對(duì)于n∈N*，均有a_n=n．（9分）
證法二：猜想：a_n=n，（4分）
1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立；（5分）
2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=k．（6分）
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2S_k+1=a_k+1²+k+1．∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k-（k+1）=2a_k+1+（k²+k）-（k+1）=2a_k+1+（k²-1）
（以下同證法一）（9分）

（Ⅲ）證法一：要證≤，
只要證≤2（n+2），（10分）
即n（x+y）+2+≤2（n+2），（11分）
將x+y=1代入，得≤n+2，
即要證4（n²xy+n+1）≤（n+2）²，即4xy≤1．（12分）
∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴≤，
即xy≤，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．（14分）
證法二：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴≤①
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)．（11分）
∴≤②
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)．（12分）
①+②，得（）≤=n+2，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)．（13分）
∴≤．（14分）
證法三：可先證≤．（10分）
∵，，a+b≥，（11分）
∴2a+2b≥，
∴≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．（12分）
令a=nx+1，b=ny+1，即得：≤=，
當(dāng)且僅當(dāng)nx+1=ny+1即時(shí)取等號(hào)．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意各種不同解法的應(yīng)用，平時(shí)做題時(shí)多嘗試一題多解能夠有效地提高解題能力．