3.已知函數(shù)f(x)=exlnx-aex(a∈R).
(1)若f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y=$\frac{1}{e}$x+1垂直,求a的值;
(2)若f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′(1)=-e,求出a的值即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為a≤lnx+$\frac{1}{x}$或a≥lnx+$\frac{1}{x}$,令g(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,通過求導(dǎo)得到g(x)的單調(diào)性,求出g(x)的最小值,從而求出a的范圍

解答 解:(1)∵f′(x)=ex(lnx+$\frac{1}{x}$-a),(x>0),直線y=$\frac{1}{e}$x+1的斜率是:$\frac{1}{e}$,
∴f′(1)=e(1-a)=-e,解得:a=2;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)函數(shù),
則ex(lnx+$\frac{1}{x}$-a)≥0或ex(lnx+$\frac{1}{x}$-a)≤0,
即a≤lnx+$\frac{1}{x}$或a≥lnx+$\frac{1}{x}$,
令g(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,則g′(x)=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$,
令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得:0<x<1,
∴g(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
∴g(x)最小值=g(1)=1,無(wú)最大值;
故a≤1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,曲線的切線方程問題,是一道中檔題.

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如果對(duì)任何實(shí)數(shù),直線都過一個(gè)定點(diǎn),那么點(diǎn)的坐標(biāo)是________.

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14.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,SA⊥平面ABCD,E為SC的中點(diǎn),F(xiàn)為AC上一點(diǎn),且AB=2,SA=2$\sqrt{2}$.
(Ⅰ)求證:EF⊥BD;
(Ⅱ)若EF∥平面SBD,試確定F點(diǎn)的位置;
(Ⅲ)求二面角B-SC-D的余弦值.

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11.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-$\frac{ax}{x+1}$(x>-1).
(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a>0時(shí),設(shè)f(x)在x=x0處取得最小值,求證:f(x0)<1.

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18.已知cosx>1+ax2對(duì)x∈(0,$\frac{π}{2}$)恒成立,則a的取值范圍$a≤-\frac{4}{{π}^{2}}$.

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8.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$,給出下列結(jié)論:
①f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2);
②函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=k(k∈R)至少有一個(gè)公共點(diǎn);
③函數(shù)y=f(x)的圖象與y=x3-2x2+x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn),
其中正確的序號(hào)是①③.

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15.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=AA1=4,AB=5,D是線段AB上一點(diǎn).
(1)設(shè)$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{AD}$,求異面直線AC1與CD所成角的余弦值;
(2)若AC1∥平面B1CD,求二面角D-CB1-B的正切值.

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12.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,AB⊥BC,側(cè)面AA1C1C是菱形,∠A1AC=60°,且側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,點(diǎn)O為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)E為線段BC1上的一動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).
(1)求證:A1O⊥平面A1B1C1
(2)試確定點(diǎn)E的位置,使平面A1AE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{1}{4}$.

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12.已知函數(shù)y=2tan(3x-$\frac{π}{4}$),試求函數(shù)的定義域、值域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間并判斷函數(shù)的奇偶性.

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