Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^xlnx-ae^x（a∈R）．
（1）若f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=$\frac{1}{e}$x+1垂直，求a的值；
（2）若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（1）=-e，求出a的值即可；
（2）問題轉化為a≤lnx+$\frac{1}{x}$或a≥lnx+$\frac{1}{x}$，令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，通過求導得到g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-a），（x＞0），直線y=$\frac{1}{e}$x+1的斜率是：$\frac{1}{e}$，
∴f′（1）=e（1-a）=-e，解得：a=2；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
則e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-a）≥0或e^x（lnx+$\frac{1}{x}$-a）≤0，
即a≤lnx+$\frac{1}{x}$或a≥lnx+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，則g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴g（x）_最小值=g（1）=1，無最大值；
故a≤1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，曲線的切線方程問題，是一道中檔題．