分析 (1)以C為原點,CA,CB,CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出異面直線AC1與CD所成角的余弦值.
(2)連結BC1,交B1C于點O,求出平面CDB1的一個法向量和平面CBB1的一個法向量,利用向量法能求出二面角D-CB1-B的正切值.
解答 解:(1)由AC=3,BC=4,AB=5,得∠ACB=90°,
以C為原點,CA,CB,CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
則A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),C(0,0,0),設D(x,y,z),
∵$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{AD}$,∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$=(3,0,0)+$\frac{1}{5}$(-3,4,0)=($\frac{12}{5}$,$\frac{4}{5}$,0),$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=(-3,0,4),
設異面直線AC1與CD所成角為θ,
則cosθ=|cos<$\overrightarrow{A{C}_{1}}$,$\overrightarrow{CD}$>|=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{CD}|}$|=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$.
∴異面直線AC1與CD所成角的余弦值為$\frac{9\sqrt{10}}{50}$.
(2)連結BC1,交B1C于點O,則O為BC1的中點,
∵平面ABC1∩平面B1CD=OD,且AC1∥平面B1CD,
∴OD∥AC1,∴D為AB的中點,
∴$\overrightarrow{CD}$=($\frac{3}{2}$,2,0),$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=(0,4,4),
設平面CDB1的一個法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$,取x=4,得$\overrightarrow{n}$=(4,-3,3),
平面CBB1的一個法向量$\overrightarrow{m}$=(1,0,0),
cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$,
∵二面角D-CB1-B的平面角α為銳角,
∴cosα=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$,sinα=$\sqrt{1-(\frac{2\sqrt{34}}{17})^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$,
∴tanα=$\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\frac{2\sqrt{34}}{17}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$,
∴二面角D-CB1-B的正切值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.
點評 本題考查異面直線所成角的求法,考查二面角的正切值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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