精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=
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．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．
分析：（Ⅰ）根據(jù)底面是邊長為1的正方形，以及勾股定理，證明PA⊥AD，再根據(jù)PA⊥CD，AD∩CD=D，即可證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）根據(jù)四棱錐P-ABCD的底面積為1，高為PA，即可求出四棱錐P-ABCD的體積．
解答：證明：（Ⅰ）因為四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
PA=1，PD=
2

所以PD2=PA2+AD2，所以PA⊥AD
又PA⊥CD，AD∩CD=D
所以PA⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因為PA⊥平面ABCD，所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為：
1
3
．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
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，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
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，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
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，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
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，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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