Question

20．已知圓M：（x+1）²+y²=1圓N：（x-1）²+y²=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線與曲線C交于R，S兩點(diǎn)，問(wèn)是否在x軸上存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)總有∠OTS=∠OTR？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）確定PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，可得曲線E是長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4，焦距2c=2的橢圓，且b²=a²-c²=3，即可求E的方程；
（2）假設(shè)存在T（t，0）滿足∠OTS=∠OTR．聯(lián)立得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出存在T（4，0），使得當(dāng)k變化時(shí)，總有∠OTS=∠OTR．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，由已知|PF₁|=r+1，|PF₂|=3-r，
則有|PF₁|+|PF₂|=4，
由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸為$\sqrt{3}$的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{x≠-2}）$．…（5分）
（2）假設(shè)存在T（t，0）滿足∠OTS=∠OTR．設(shè)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ 3{x^2}+4{y^2}-12=0\end{array}\right.$得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$①，其中△＞0恒成立，…（7分）
由∠OTS=∠OTR（顯然TS，TR的斜率存在），故k_TS+k_TR=0即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0②，
由R，S兩點(diǎn)在直線y=k（x-1）上，故 y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入②整理有2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0③…（9分）
將①代入③即有：$\frac{6t-24}{3+4{k}^{2}}$=0④，要使得④與k的取值無(wú)關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)“t=4“時(shí)成立，
綜上所述存在T（4，0），使得當(dāng)k變化時(shí)，總有∠OTS=∠OTR．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線過(guò)定點(diǎn)，屬于中檔題．