Question

4．已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，體積為$\frac{4}{3}$，則此棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（　�。�

• A． 1：2
• B． 2：5
• C． 1：3
• D． 4：5

Answer 1

分析 取BC中點(diǎn)E，求出PE，HP，可得四棱錐P-ABCD的表面積、體積，進(jìn)而求出內(nèi)切球的半徑，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球與外接球的半徑之比．

解答 解：取BC中點(diǎn)E，
由題意，正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，體積為$\frac{4}{3}$，
∴PE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，HP=2，
從而四棱錐P-ABCD的表面積為S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×4$+$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=8，V=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{4}{3}$，
∴內(nèi)切球的半徑為r=$\frac{1}{2}$．
設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的球心為O，外接球的半徑為R，則OP=OA，
∴（2-R）²+1²=R²，
∴R=$\frac{5}{4}$，
∴棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為2：5．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球與外接球的半徑之比，考查四棱錐P-ABCD的表面積、體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．