Question

16．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F₂垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)，若|OA|+|OB|=2|AB|，且F₂在線段AB上，則雙曲線的漸近線斜率為（　�。�

• A． $±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． ±2
• C． $±\sqrt{2}$
• D． $±\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知AB與x軸交于點(diǎn)F₂，設(shè)∠AOF₂=α，則$tanα=\frac{a}$，△AOB中，可得$tan2α=\frac{4}{3}$，$tanα=\frac{1}{2}$，即可求出雙曲線的漸近線斜率．

解答 解：由已知AB與x軸交于點(diǎn)F₂，設(shè)∠AOF₂=α，
則$tanα=\frac{a}$，△AOB中，可得$tan2α=\frac{4}{3}$，
設(shè)|OA|=m-d、|AB|=m、|OB|=m+d，
∵OA⊥BF，∴（m-d）²+m²=（m+d）²，
整理，得d=$\frac{1}{4}$m，△AOB中，∠AOB=2α，tan∠AOB=tan2α=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{4}{3}$
∴$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$，∴$tanα=\frac{1}{2}$，
∴雙曲線的漸近線斜率為$±\frac{1}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．