已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4．
（1）若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切，求橢圓焦點坐標；
（2）若點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為kPM，kPN，當kPM•kPN=-
1
4
時，求橢圓的方程．
（1）由b=
2
1+1
得b=
2
…（2分）
又因為2a=4，
所以a=2，又a2=4，b2=2…（4分）
所以c2=a2-b2=2，
∴兩個焦點坐標為(
2
，0)，(-
2
，0)…（6分）
（2）由于過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N交于坐標原點對稱
不妨設：M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y）
因為M，N，P在橢圓上，
所以它們滿足橢圓方程，即有
x20
a2
+
y20
b2
=1，
x2
a2
+
y2
b2
=1
兩式相減得：
y2-
y20
x2-
x20
=-
b2
a2
．…（8分）
由題意它們的斜率存在，則kPM=
y-y0
x-x0
，kPN=
y+y0
x+x0
…（10分）
kPM•kPN=
y-y0
x-x0
•
y+y0
x+x0
=
y2-
y20
x2-
x20
=-
b2
a2
則-
b2
a2
=-
1
4
，由a=2得b=1

故所求橢圓的方程為
x2
4
+y2=1…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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