Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，$∠ABC=\frac{π}{3}$，且PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若平面PAB與平面PCD的夾角為$\frac{π}{3}$，試求線段PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可得BD⊥PA，再由四邊形ABCD是菱形，得BD⊥AC，利用線面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，進(jìn)一步得到平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）取DC的中點(diǎn)E，由已知可得AE⊥CD，分別以AE、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)PA=m（m＞0）．求出A、P、C、D的坐標(biāo)，得到平面
PCD與平面PAB的法向量，由兩法向量所成角的余弦值列式求得線段PA的長(zhǎng)．

解答 （Ⅰ）證明：由PA⊥平面ABCD，得BD⊥PA，
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
又∵BD?平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：取DC的中點(diǎn)E，由已知可得AE⊥CD，
分別以AE、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz（如圖），
設(shè)PA=m（m＞0）．
則$A（{0，0，0}），P（{0，0，m}），C（{\sqrt{3}，1，0}），D（{\sqrt{3}，-1，0}）$，
∴$\overrightarrow{DP}=（{-\sqrt{3}，1，m}），\overrightarrow{DC}=（{0，2，0}）$．            
設(shè)平面PCD的法向量為n=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y+mz=0\\ 2y=0\end{array}\right.$，取x=m，得$\overrightarrow{n}=（m，0，\sqrt{3}）$．
平面PAB的法向量可取$\overrightarrow{r}$=（1，0，0），
則cos$\frac{π}{3}$=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{r}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{r}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{r}|}=\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}+3}}=\frac{1}{2}$，解得m=1，
故線段PA的長(zhǎng)為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．