Question

10．已知關(guān)于x的不等式x²-4ax+3a²＜0（a＞0）的解集為（x₁，x₂），則${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出x₁+x₂和x₁x₂的值，再利用基本不等式求出${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$的最小值．

解答 解：不等式x²-4ax+3a²＜0（a＞0）的解集為（x₁，x₂），
∴x₁+x₂=4a，且x₁x₂=3a²；
∴${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$=4a+$\frac{1}{3a}$≥2$\sqrt{4a×\frac{1}{3a}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)4a=$\frac{1}{3a}$，即a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$時(shí)“=”成立；
故所求的最小值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．