Question

已知函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程與直線x+2y-1=0垂直，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（3）若函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是多少？

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得到a；
（2）令導(dǎo)數(shù)大于0，即得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，即得減區(qū)間，注意運用求根公式求解不等式；
（3）函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）上單調(diào)遞增等價于（-1，1）包含于f（x）的單調(diào)增區(qū)間，列出不等式，解出即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（-x²+ax-2x+a），
則f（x）在x=0處的切線斜率為f′（0）=e⁰•a=a，
由于在x=0處的切線與直線x+2y-1=0垂直，
則切線的斜率為2，即有a=2；
（2）由于f′（x）=e^x（-x²+ax-2x+a），
令f′（x）＞0，則-x²+ax-2x+a＞0，由于△=（a-2）²+4a=a²+4，
即有

a-2- a2+4

2

＜x＜

a-2+ a2+4

2

，
令f′（x）＜0，則有x＞

a-2+ a2+4

2

，或x＜

a-2- a2+4

2

，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：（

a-2- a2+4

2

，

a-2+ a2+4

2

），
單調(diào)減區(qū)間是：（-∞，

a-2- a2+4

2

），（

a-2+ a2+4

2

，+∞）；
（3）函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）上單調(diào)遞增，
則由（2）得，（-1，1）⊆（

a-2- a2+4

2

，

a-2+ a2+4

2

），
即有

a-2- a2+4

2

≤-1且有

a-2+ a2+4

2

≥1，
即

a2+4

≥a①且

a2+4

≥4-a②，
由①得，a∈R，由②得，a≥4或

3

2

≤a＜4，
故由①②得，a≥

3

2

．
則a的取值范圍是[

3

2

，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，求單調(diào)區(qū)間，考查兩直線的垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．