Question

11．一箱中放了8個(gè)形狀完全相同的小球，其中2個(gè)紅球，n（2≤n≤4）個(gè)黑球，其余的是白球，從中任意摸取2個(gè)小球，兩球顏色相同的概率是$\frac{1}{4}$．
（I）求n的值；
（Ⅱ）現(xiàn)從中不放回地任意摸取一個(gè)球，若摸到紅球或者黑球則結(jié)束摸球，用ξ表示摸球次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“從箱中任意摸取兩個(gè)小球，兩球顏色相同”為事件A，由已知列出方程，由此能求出n．
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及Eξ．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“從箱中任意摸取兩個(gè)小球，兩球顏色相同”為事件A，
由題意P（A）=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}+{C}_{6-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
解得n=3．
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{5}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{8}×\frac{5}{7}$=$\frac{15}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{56}$，
P（ξ=4）=$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{1}{6}×1$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

Eξ=$1×\frac{5}{8}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{5}{56}+4×\frac{1}{56}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．