Question

11．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上的點(diǎn)．若PF₁⊥F₁F₂，∠F₁PF₂=60°，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由題意可得x_P=-c，代入橢圓方程求得P的坐標(biāo)，再由解直角三角形的知識(shí)，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由題意可得x_P=-c，
代入橢圓方程，解得y_P=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
在直角三角形F₁PF₂中，
tan60°=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{2c}{\frac{^{2}}{a}}$，
即有$\sqrt{3}$b²=2ac，
即為$\sqrt{3}$a²-2ac-$\sqrt{3}$c²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負(fù)的舍去）．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程及運(yùn)用，考查離心率的求法，注意運(yùn)用解直角三角形，以及離心率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．