Question

已知函數(shù)f（x²-3）=log_a

x2

6-x2

（a＞0，a≠1）．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）解不等式：f（x）≥log_a（2x）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x²-3=t，利用換元法得出f（t）=log_a

3+t

3-t

，從而得出函數(shù)f（x）的解析式，可求得定義域關(guān)于原點對稱，利用奇偶函數(shù)的定義可判斷f（x）奇偶性；
（2）對a分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論，再利用相對應的函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可．

解答：解  （1）設(shè)x²-3=t，則f（t）=log_a

3+t

3-t

，
即f（x）=log_a

3+x

3-x

，其定義域為（-3，3），且f（-x）=-f（x）．
∴f（x）在（-3，3）上是奇函數(shù)．…（4分）
（2）a＞1時，

3+x

3-x

≥2x＞0，解得x∈（0，1）∪[

3

2

，3]．…（8分）
0＜a＜1時，0＜

3+x

3-x

≤2x，解得x∈[1，

3

2

]．…（12分）

點評：本題考查指、對數(shù)不等式的解法、函數(shù)奇偶性的判斷，考查分類討論思想和計算能力，屬于中檔題．