Question

已知函數(shù)f（x²-3）=lg

x2

x2-6

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f[φ（x）]=lgx，求φ（3）的值．

Answer 1

分析：（1）整體代換的思路用換元法求解析式，設x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函數(shù)，求出f（t），即f（x）的表達式
（2）通過（1）的解析式判斷奇偶性，判斷定義域是否關于原點對稱，然后判斷f（-x）與f（x）之間的關系，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明．
（3）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．

解答：解：（1）設x²-3=t，則x²=t+3，故t≥-3，
所以原函數(shù)轉化為f（t）=lg

t+3

t-3

，
由

t+3

t-3

＞0得t＞3或t＜-3，又由t≥-3
則t＞3，
故f（x）的定義域為{x|x＞3}
即f（x）=lg

x+3

x-3

，定義域為{x|x＞3}
（2）由（1）知定義域{x|x＞3}，不關于原點對稱，
所以f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（3）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg

φ(x)+3

φ(x)-3

=lgx
即：

φ(x)+3

φ(x)-3

=x
解得：φ（x）=

3x+3

x-1

則：φ（3）=6

點評：本題考查復合函數(shù)的定義域及單調性的求解，第三問為創(chuàng)新型題目，為中檔題