Question

已知ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出CB⊥AB，BC⊥PA，由此能證明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠ABC=90°，∴CB⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：∵ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
∴以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PA=AB=BC=2，AD=1，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，1，0），P（0，0，2），
∴

PD

=（0，1，-2），

PC

=（2，2，-2），
設(shè)平面PCD的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m

•

PD

=0，

m

•

PC

=0，
∴

y-2z=0 2x+2y-2z=0

，∴

m

=（-1，2，1），
平面PAD的法向量

n

=（0，1，0），
設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

6

|=

6

3

，
∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．